Was ein Qubit anders macht

KAPITEL 1Nicht beides gleichzeitig

Ein klassisches Bit, über das man nichts weiß, beschreibt man mit zwei Zahlen: der Wahrscheinlichkeit für 0 und der für 1. Beide sind nie negativ, und zusammen ergeben sie 1. Ein Qubit beschreibt man auch mit zwei Zahlen — aber das sind Amplituden, und für die gilt eine andere Regel: Nicht sie selbst müssen sich zu eins summieren, sondern ihre Quadrate.

Dieser Unterschied klingt nach Buchhaltung und ist der ganze Punkt. Weil erst das Quadrat zählt, darf eine Amplitude negativ sein, ohne dass etwas kaputtgeht: (−0,707)² ist dasselbe wie (+0,707)². Und sobald negative Zahlen erlaubt sind, kann sich eine Summe zu null ergänzen. Das kann keine Wahrscheinlichkeit.

Man sieht es am schnellsten, wenn man dieselbe Operation zweimal ausführt. Auf der klassischen Seite steht eine faire Verwürfelung: Egal was hineingeht, hinten kommt 50/50 heraus — und zweimal verwürfeln ändert daran nichts. Auf der Quantenseite steht das Hadamard-Gatter, das genauso 50/50 erzeugt. Zweimal angewendet aber landet der Zustand exakt wieder da, wo er losgelaufen ist.

Abbildung 1Zweimal dieselbe Operation — links bleibt Zufall, rechts kommt Gewissheit zurück

Anwendungen: 0
Münze: P(0): 100 %
Qubit: P(0): 100 %
Qubit: Amplituden: 1,000 / 0,000

positive Amplitudenegative AmplitudeWahrscheinlichkeit

Links rechnet eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Matrix ½·[[1,1],[1,1]], rechts ein Amplitudenvektor mit dem Hadamard-Gatter ¹⁄√2·[[1,1],[1,−1]]. Der einzige Unterschied ist das Minuszeichen unten rechts — und es kehrt die ganze Geschichte um.

Nach der ersten Anwendung sehen beide Seiten identisch aus: 50 zu 50. Nach der zweiten laufen sie auseinander. Der Grund steht in der zweiten Zeile: Der Weg über |0⟩ liefert +½, der Weg über |1⟩ liefert −½, zusammen also null. Die Wahrscheinlichkeit für |1⟩ verschwindet nicht, weil etwas „ausgewählt“ wurde, sondern weil sich zwei Beiträge exakt aufheben. Klassisch gibt es dazu kein Gegenstück: ½ + ½ ist niemals null.

Genau das meint der Begriff Interferenz, und er ist die einzige Ressource, die ein Quantenrechner hat, die ein klassischer nicht hat. Jeder bekannte Quantenalgorithmus tut im Kern dasselbe: Er sorgt dafür, dass sich die Amplituden der falschen Antworten gegenseitig wegheben und die der richtigen stehen bleiben.

Der Satz, den man streichen sollte

„Ein Qubit ist 0 und 1 gleichzeitig, deshalb probiert ein Quantenrechner alle Möglichkeiten parallel durch.“ Der zweite Halbsatz ist der falsche. Alle Möglichkeiten stehen zwar im Zustand, aber beim Messen kommt genau eine heraus — und welche, kann man sich nicht aussuchen. Ohne Interferenz, die die falschen Antworten vorher auslöscht, hat man nur einen extrem teuren Zufallsgenerator.

KAPITEL 2Der Zustand ist ein Punkt auf einer Kugel

Zwei Amplituden mit der Nebenbedingung |α|² + |β|² = 1 lassen sich vollständig durch zwei Winkel beschreiben. Damit wird der Zustand eines einzelnen Qubits zu einem Punkt auf einer Kugeloberfläche — der Bloch-Kugel. Nordpol ist |0⟩, Südpol |1⟩, und alles dazwischen ist eine Überlagerung.

Der Winkel θ zur Achse legt fest, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Messung 0 oder 1 ergibt. Der Winkel φ um die Achse herum ändert daran gar nichts — er ist die relative Phase zwischen den beiden Amplituden. Auf dem Äquator ist die Messung immer 50/50, egal wo man steht.

Das ist der Grund, warum die Kugel überhaupt gebraucht wird: Die Phase ist unsichtbar, solange man misst, aber sie entscheidet, was beim nächsten Gatter passiert. Sie ist gespeicherte Information, die erst durch Interferenz sichtbar wird.

Abbildung 2Gatter sind Drehungen — und die Phase sieht man an der Messung nicht

Amplitude α: 1,000
Amplitude β: 0,000
P(0): 100 %
Phase φ: 0 °

Die Amplituden folgen aus den Winkeln: α = cos(θ/2) und β = e^iφ · sin(θ/2). Für β steht rechts der Betrag; wie er sich auf Real- und Imaginärteil verteilt, zeigt der kleine Zeiger unter der Kugel. Die Gatter drehen den Punkt: X um 180° um die x-Achse, Z um 180° um die z-Achse, S um 90° und T um 45° um dieselbe.

Probier den Regler φ bei θ = 90°: Der Punkt wandert einmal um den Äquator, P(0) bleibt stur bei 50 %. Genau deshalb kann man die Phase nicht messen — man kann sie nur durch ein weiteres Gatter in eine Wahrscheinlichkeit umwandeln. Drück nach dem Drehen auf H und schau, was dann herauskommt.

KAPITEL 3Amplituden können sich auslöschen

Der klassische Aufbau für Interferenz ist ein Mach-Zehnder-Interferometer: Ein Strahlteiler schickt das Teilchen auf zwei Wege, ein Phasenschieber verzögert einen davon, ein zweiter Strahlteiler führt sie wieder zusammen. Dahinter stehen zwei Detektoren.

Klassisch gedacht ist der Fall klar: Das Teilchen nimmt Weg A oder Weg B, jeweils mit 50 %, und landet danach mit 50 % in jedem Detektor. Gemessen wird etwas anderes. Bei Phasendifferenz null landen alle Teilchen in einem einzigen Detektor. Der andere bleibt dunkel.

Abbildung 3Zwei Zeiger, eine Summe — und was passiert, wenn man hinsieht

Phase φ

P(D₀): 100 %
P(D₁): 0 %
Summe der Zeiger: 1,000
Sichtbarkeit: 100 %

Gerechnet wird mit zwei komplexen Zeigern, einer je Weg. Der zweite dreht sich um φ. Im Detektor werden sie addiert und erst dann quadriert: P(D₀) = cos²(φ/2), P(D₁) = sin²(φ/2). Bei 180° zeigen die Zeiger in entgegengesetzte Richtungen, ihre Summe ist null — und der Detektor bleibt dunkel, obwohl auf jedem einzelnen Weg etwas ankommt.

„Weg beobachten“ ändert am Aufbau nichts außer der Information. Sobald feststeht, welchen Weg das Teilchen genommen hat, gibt es keine zwei Beiträge mehr, die man addieren könnte — nur noch zwei getrennte Fälle, die man addiert, nachdem quadriert wurde. Das Ergebnis ist stur 50/50 für jede Phase, die Sichtbarkeit fällt auf null. Die Interferenz verschwindet nicht durch eine Störung, sondern durch das Vorhandensein der Information.

Das ist auch der praktische Grund, warum Quantenrechner so schwer zu bauen sind. Es genügt, dass irgendetwas in der Umgebung die Weginformation aufschnappt — ein Luftmolekül, ein Photon, eine Gitterschwingung. Niemand muss hinschauen. Sobald die Information die Umgebung erreicht hat, ist die Interferenz weg. Dazu am Ende mehr.

KAPITEL 4Messen heißt entscheiden

Solange man nicht misst, entwickelt sich ein Quantenzustand vollkommen deterministisch: Gatter sind Drehungen, und Drehungen sind umkehrbar. Der Zufall betritt die Bühne erst beim Messen — und dann endgültig. Das Ergebnis ist 0 oder 1, mit den Wahrscheinlichkeiten |α|² und |β|², und danach steht der Zustand auf genau diesem Wert.

Ein einzelnes Messergebnis sagt deshalb fast nichts. Erst viele Wiederholungen desselben Experiments zeigen die Verteilung — und damit indirekt die Amplituden. Das ist kein Schönheitsfehler, sondern der Grund, warum jede Messung auf echter Hardware in Tausenden von Shots läuft.

Abbildung 4Die Verteilung entsteht erst durch Wiederholung

Shots: 0
Erwartet P(0): 75,0 %
Gemessen P(0): — %
Abweichung: —

Jeder Shot ist eine echte Zufallsentscheidung gegen cos²(θ/2). Die graue Linie markiert den erwarteten Wert, die Balken zeigen die bisher gezählten Häufigkeiten. Die Abweichung darunter ist in Standardfehlern angegeben: σ = √(p(1−p)/N). Mit vierfacher Shot-Zahl halbiert sich die Unsicherheit — mehr Genauigkeit kostet also quadratisch viele Wiederholungen.

Das erklärt eine praktische Grenze, die in Vorträgen selten vorkommt: Wer eine Wahrscheinlichkeit auf ein Prozent genau kennen will, braucht rund zehntausend Shots. Auf echter Hardware kommt zu jedem Shot noch die Vorbereitungs- und Auslesezeit dazu — deshalb sind selbst kurze Schaltkreise selten in unter einer Sekunde vermessen.

KAPITEL 5Zwei Qubits, die mehr sind als zwei

Bei zwei Qubits reichen zwei Zahlenpaare nicht mehr. Der Zustand braucht vier Amplituden — je eine für |00⟩, |01⟩, |10⟩ und |11⟩. Bei drei Qubits sind es acht, bei n Qubits 2ⁿ. Diese Verdopplung ist der Grund, warum sich Quantensysteme klassisch so schwer simulieren lassen: 50 Qubits brauchen über eine Billiarde Zahlen.

Interessant wird es, wenn sich der Zustand nicht mehr in „dieses Qubit ist so, jenes so“ zerlegen lässt. Ein Hadamard auf dem ersten Qubit, danach ein CNOT auf das zweite, und man steht bei (|00⟩ + |11⟩)/√2: Beide Qubits sind einzeln vollkommen unbestimmt, aber sie stimmen garantiert überein. Das ist Verschränkung.

Abbildung 5Vier Amplituden, zwei Gatter, ein untrennbarer Zustand

Verschränkung: 0,00
Letzte Messung: —
Gleich / verschieden: 0 / 0
Trennbar: ✓

positive Amplitudenegative AmplitudeWahrscheinlichkeit

Die Kennzahl links ist die Verschränkungsentropie des ersten Qubits: null bei einem trennbaren Zustand, eins beim maximal verschränkten. Sie wird aus den Eigenwerten der reduzierten Dichtematrix gerechnet, nicht gesetzt. Die Zeile „Trennbar“ prüft direkt, ob sich die vier Amplituden als Produkt zweier Einzelzustände schreiben lassen — bei einem Bell-Zustand geht das nicht.

Der Weg dorthin ist H auf q₀, dann CNOT. Danach zeigt „Gleich / verschieden“ bei jeder Messung dasselbe Bild: Beide Qubits fallen immer gleich aus, obwohl jedes einzeln 50/50 ist. Ein X auf q₁ vorher oder nachher dreht das um — dann sind sie immer verschieden.

Bis hierhin ließe sich alles noch klassisch nachbauen: Zwei Zettel mit derselben Zufallszahl in zwei Umschlägen erzeugen dieselbe perfekte Korrelation. Der Unterschied zeigt sich erst, wenn beide Seiten in verschiedenen Richtungen messen. John Bell hat 1964 gezeigt, dass es dafür eine Obergrenze gibt, die jede Erklärung mit vorher festgelegten Zetteln einhalten muss. Die Quantenmechanik verletzt sie.

Abbildung 6Die Grenze, an der Zettel im Umschlag scheitern

Messwinkel

S (Quanten): 2,598
S (klassisch max): 2,000
Verletzung: +29,9 %
Grenze überschritten: ✓

Gerechnet wird die CHSH-Größe S = |E(a,b) − E(a,b′) + E(a′,b) + E(a′,b′)| aus den Korrelationen E = cos(2Δ) für den Bell-Zustand. Jede Theorie, in der die Ergebnisse schon vor der Messung feststehen, bleibt bei S ≤ 2. Die Quantenmechanik erreicht bei 22,5° Winkelabstand ihr Maximum 2√2 ≈ 2,828 — und das ist gleichzeitig ihre eigene Obergrenze (Tsirelson).

Die Kurve ist keine Illustration, sondern der Grund für den Physik-Nobelpreis 2022. Aspect, Clauser und Zeilinger haben genau diese Verletzung im Labor gemessen, in immer besser abgedichteten Aufbauten. Praktisch nutzbar ist sie heute in der Quanten-Schlüsselverteilung: Wer die Grenze überschreitet, kann beweisen, dass niemand mitgelesen hat.

KAPITEL 6Grover schichtet die Amplituden um

Bis hierhin war Interferenz ein Effekt. Jetzt wird sie ein Werkzeug. Grovers Algorithmus sucht in einer unsortierten Menge von N Einträgen den einen, der eine Bedingung erfüllt — klassisch braucht das im Mittel N/2 Versuche, bei Grover reichen ungefähr √N.

Der Ablauf besteht aus zwei Schritten, die abwechselnd wiederholt werden. Das Orakel dreht das Vorzeichen der gesuchten Amplitude um — es markiert sie, ohne sie größer zu machen. Die Diffusion spiegelt danach alle Amplituden am Mittelwert. Weil die markierte jetzt unter dem Mittelwert liegt, springt sie beim Spiegeln nach oben, während alle anderen ein Stück verlieren.

Abbildung 7Markieren, am Mittelwert spiegeln, wiederholen — aber nicht zu oft

Einträge N: 16
Iterationen: 0
P(Treffer): 6,3 %
Optimum bei: 3

positive Amplitudenegative AmplitudeMittelwert

Alle Amplituden werden exakt gerechnet, es gibt keine Animationskurve dahinter. Die gestrichelte Linie ist der Mittelwert, an dem die Diffusion spiegelt. Am Anfang steht überall 1/√N; nach dem Orakel liegt ein Balken unter null, und die Spiegelung hebelt ihn nach oben.

Der interessanteste Teil kommt, wenn man weiterklickt. Nach dem Optimum von ⌊π/4·√N⌋ Iterationen sinkt die Trefferwahrscheinlichkeit wieder — das Verfahren dreht über das Ziel hinaus und läuft periodisch weiter. Man muss also wissen, wann man aufhört; das ist keine Suche, die man einfach „länger laufen“ lässt. Und der Gewinn ist quadratisch, nicht exponentiell: Bei einer Million Einträgen sind es rund 785 Iterationen statt einer halben Million Versuche — beeindruckend, aber weit entfernt von dem, was Shors Algorithmus beim Faktorisieren tut.

KAPITEL 7Warum es trotzdem schwer ist

Alles bisher Gezeigte setzt voraus, dass die Amplituden ungestört bleiben. Genau das ist das Problem. Ein Qubit ist an seine Umgebung gekoppelt, und jede Kopplung trägt Information nach draußen — dieselbe Information, die in Abbildung 3 die Interferenz zerstört hat. Man unterscheidet zwei Zeitkonstanten: T₁ beschreibt, wie schnell ein angeregtes Qubit in den Grundzustand zurückfällt, T₂, wie schnell die Phase verloren geht. Auf der Bloch-Kugel schrumpft der Zustandsvektor dabei von der Oberfläche ins Innere: Was übrig bleibt, ist eine klassische Wahrscheinlichkeitsmischung ohne nutzbare Phase.

Bei supraleitenden Qubits liegen beide Zeiten heute im Bereich einiger hundert Mikrosekunden, ein einzelnes Gatter dauert einige zehn Nanosekunden. Das klingt nach viel Luft, reicht aber nur für einige tausend Operationen hintereinander — und für Shors Algorithmus auf kryptografisch relevanten Zahlen bräuchte es Milliarden. Die Lücke schließt Fehlerkorrektur: Viele physische Qubits bilden zusammen ein logisches, das länger durchhält als jedes einzelne. Der Preis sind je nach Verfahren hunderte bis tausende physische Qubits pro logischem.

Dazu kommt eine Hürde, die nichts mit Hardware zu tun hat: Um mit vorhandenen Daten zu rechnen, muss man sie erst in einen Quantenzustand bringen. Für N Werte kostet das im allgemeinen Fall N Schritte — und damit ist ein Vorteil von √N aufgebraucht, bevor der Algorithmus überhaupt anfängt. Deshalb sind die überzeugenden Anwendungen bis heute die, bei denen die Eingabe klein und die Rechnung groß ist: Faktorisieren, Simulation von Molekülen und Materialien, bestimmte Optimierungsprobleme.

Was bleibt also von einem Qubit? Kein magischer Parallelrechner. Ein Speicher für Amplituden, die man so lange gegeneinander laufen lassen kann, bis die falschen Antworten sich selbst wegkürzen. Das ist weniger, als die Schlagzeilen versprechen — und deutlich seltsamer.